湖北省黄冈、华师附中等八校2019届高三年级第一次联考数学(文)试题(精编含解析)

发布于:2021-12-07 19:48:36

2019 届高三第一次联考数学(文科)试题
第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的.
???? ???? 1.已知线段上 A, B, C 三点满足 BC = 2 AB ,则这三点在线段上的位置关系是( )

A.

B.

C.

D.

【答案】A

【解析】

【分析】
???? ???? 根据向量的线性关系得到 BC 和 AB 是共线同向的,且 BC=2AB,进而得到答案.
???? ???? 【详解】根据题意得到 BC 和 AB 是共线同向的,且 BC=2AB,故得到选项为 A.

故答案为:A. 【点睛】这个题目考查了向量的线性关系,考查了向量的数乘的应用,较为简单.
2.含一个量词的命题“ $ x0 ? R ,使得 x02 +1 < 0 ”的否定是( )

A. $ x0 ? R ,使得 x02 +1 ? 0 B. $ x0 ? R ,使得 x02 +1 > 0

C. " x ? R, x2 +1 ? 0 D. " x ? R, x2 +1 < 0

【答案】C 【解析】 【分析】 根据特称命题的否定形式书写即可,即换量词,否结论,不变条件.
【详解】特称命题的否定形式为全称命题,根据特称命题的否定形式书写为:" x ? R, x2 +1 ? 0 .

故答案为:C. 【点睛】一般地,写含有一个量词的命题的否定,首先要明确这个命题是全称命题还是特称命题,并找到 其量词的位置及相应结论,然后把命题中的全称量词改成存在量词或把存在量词改成全称量词,同时否定

结论.
{ } 3.集合 A = 3, 2a , B ={a,b} ,若 A?B ={1} ,则 A?B =( )

A. {0,3} B. {1, 2,3} C. {1, 2} D. {0,1,3}

【答案】D 【解析】 【分析】 根据集合的交集得到参数值,再由集合的并集的概念得到结果.
{ } 【详解】集合 A = 3, 2a , B ={a,b} ,若 A?B ={1} 则 2a =1,a=0,故 b=1。

故得到 A?B = {0,1,3} .

故答案为:D.

【点睛】与集合元素有关问题的思路:(1)确定集合的元素是什么,即确定这个集合是数集还是点集;(2)看

这些元素满足什么限制条件;(3)根据限制条件列式求参数的值或确定集合元素的个数,但要注意检验集合

是否满足元素的互异性.

( ) 4.已知函数

f

(x)

=

ì?í ??

-

2x, x x +9,

< 3, x ? 3,



f

f (2) 的值为(



A. 6 B. 5 C. 4 D. 3

【答案】B

【解析】

【分析】

( ) ( ) 根据函数的解析式得到 f 2 = 4 , f f (2) = f (4) = 5 .

( ) 【详解】函数

f

(x)

=

ì?í ??

-

2x, x < 3,
,
x +9, x ? 3,

f

(2) = 4 ,

f

f (2) = f (4) = 5.

故答案为:B。

【点睛】解决分段函数求值问题的策略

(1)在求分段函数的值 f(x0)时,一定要首先判断 x0 属于定义域的哪个子集,然后再代入相应的关系式;(2)分 段函数是指自变量在不同的取值范围内,其对应法则也不同的函数,分段函数是一个函数,而不是多个函

数;分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是各段值域的并集,故解分段函数时要分段解决;(3)求

f(f(f(a)))的值时,一般要遵循由里向外逐层计算的原则。

5.《九章算术》中“开立圆术”曰:“置积尺数,以十六乘之,九而一,所得开立方除之,即立圆径”.

1

“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V

,求球的直径 d

的公式: d

= ???è196 V

?3 ÷÷?

.若球的半径为 r

=1,

根据“开立圆术”的方法计算该球的体积为( )

A. 4 p 3

9
B.
16

9
C.
4

9
D.
2

【答案】D

【解析】

【分析】

1

1

根据公式

d

= ???è196 V

?3 ÷÷?

得,

2

=

???è196 V

?3 ÷÷?

,解得

v

即可

1

1

【详解】根据公式 d

= ???è196 V

?3 ÷÷?

得, 2

= ???è196 V

?3 ÷÷?

,解得V

=

9 2



故选 D.

【点睛】本题考查了数学文化,属于基础题.也考查了球的体积的计算,较为简单.

( ) ( ) ( ) 6.已知向量 a? =

? 0,1 ,b =

2,1

,且

? b

+l

a?

^ a? ,则实数 l

的值为(



A. 2 B. - 2 C. 1 D. - 1
【答案】D

【解析】

【分析】

( ) ( ) ?
b

+l

a?

= (2,1 + l

),

? b

+l

a?

^ a? ,即

? b +l

a?

×a?=1+l

=0?

l

= - 1.

( ) 【详解】已知向量

a?

?
= (0,1), b

?
=(2,1) , b

+l

a?

= (2,1 + l

),

? b

+l

a?

^ a? ,即

( ) ?
b

+

l

a?

×a?=1+l

=0?

l

= - 1.

故答案为:D.

【点睛】(1)向量的运算将向量与代数有机结合起来,这就为向量和函数的结合提供了前提,运用向量的

有关知识可以解决某些函数问题.

(2)以向量为载体求相关变量的取值范围,是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题.通

过向量的运算,将问题转化为解不等式或求函数值域,是解决这类问题的一般方法. (3)向量的两个作用:①载体作用:关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”,转化为我们熟悉的数 学问题;②工具作用:利用向量可解决一些垂直、*行、夹角与距离问题.
7.设等差数列{an} 的前 n 项和为 Sn ,若 S4 = 20, S5 = 30, am = 40 ,则 m =
A. 6 B. 10 C. 20 D. 40
【答案】C 【解析】 【分析】
等差数列{an} 的前 n 项和为 Sn ,若 S4 = 20, S5 = 30, 进而得到 a5 =10 【详解】等差数列{an} 的前 n 项和为 Sn ,若 S4 = 20, S5 = 30, 进而得到 a5 =10,
根据等差数列的性质得到 S5 = 30 = 5a3 ,故 a3 =6,根据等差数列的性质得到 a5 - a3 = 2d , d = 2 , am = 40 = a5 +(2 )m - 5 ,解得 m=20.
故答案为:C. 【点睛】本题考查等差数列的通项公式,是基础的计算题,对于等差数列的小题,常用到的方法,其一是 化为基本量即首项和公差,其二是观察各项间的脚码关系,即利用数列的基本性质. 8.下列各图都是正方体的表面展开图,将其还原成正方体后,所得正方体完全一致(数码相对位置相同) 的是( )

A. (Ⅰ)和(Ⅳ) B. (Ⅰ)和(Ⅲ) C. (Ⅱ)和(Ⅲ) 【答案】B 【解析】 【分析】 分别判断出还原成正方体后,相对面的标号,可得答案. 【详解】(Ⅰ)图还原后,①④对面,②⑤对面,③⑥对面; (Ⅱ)图还原后,①⑥对面,②⑤对面,③④对面;

D. (Ⅱ)和(Ⅳ)

(Ⅲ)图还原后,①④对面,②⑤对面,③⑥对面;

(Ⅳ)图还原后,①⑤对面,②④对面,③⑥对面; 综上,可得还原成正方体后,其中两个完全一样的是(Ⅰ)和(Ⅲ)

故选:B. 【点睛】本题考查的知识点是正方体的几何特征,正方体的表面展开图,难度中档.

( ) ( ) 9.将函数 f

x

=

sin

? ??è2x

+p 6

? ÷÷? 的图象向左*移

p 6

个单位,得到函数

g

x 的图象,则下列说法正确的是(



( ) A. 直线 x = p 是 g x 的图象的一条对称轴 2

B.

g

???èp6

? ÷÷? =

3 2

C. g (x)的周期为 2p D. g (x)为奇函数

【答案】A 【解析】

【分析】

( ) 通过*移变换得到 g x = sin(2x +p )=cos2x ,依次判断各个选项即可. 2

( ) ( ) 【详解】将函数 f

x

=

sin

? ??è2x

+p 6

? ÷÷? 的图象向左*移

p 6

个单位,得到函数

g

x 的图象,

( ) g x = sin(2x +p )=cos2x ,直线 x = p 代入表达式得到结果为-1,是对称轴处的取值,故 A 正确;

2

2

( ) ( ) g

???èp6

? ÷÷? =

cos

p 3

=

1 2

,故

B

正确;

g

x

的周期为 4p ,故 C 不正确; g

x

为偶函数,故 D 不正确。

故答案为:A. 【点睛】这个题目考查了 y=Asin(ωx+?)图象的变换以及图像的性质,函数图像*移满足左加右减的原则, 这一原则只针对 x 本身来说,需要将其系数提出来,再进行加减.
( ) 10.若函数 y = - 4 - x - 1 2 的图象与直线 x - 2 y +m = 0 有公共点,则实数 m 的取值范围为( ) [ ] A. éê?- 2 5 - 1,- 2 5 +1ùú? B. éê?- 2 5 - 1,1ùú?. C. éê?- 2 5 +1,- 1ùú? D. - 3,1
【答案】B 【解析】

【分析】
( ) ( ) 将函数变形为 x - 1 2 + y2 = 4 y ? 0 ,表示的是以(1,0)为圆心,2 为半径的圆的下半部分,与直线
x - 2 y +m = 0 有公共点,一个临界是相切,一个临界是过点(-1,0),列式求值即可.
( ) ( ) ( ) 【详解】函数 y = - 4 - x - 1 2 可化简为: x - 1 2 + y2 = 4 y ? 0 ,表示的是以(1,0)为圆心,2 为
半径的圆的下半部分,与直线 x - 2 y +m = 0 有公共点,根据题意画出图像:

1+m

一个临界是和圆相切,即圆心到直线的距离等于半径,

= 2 ? m = - 2 5 - 1 正值舍去;

5

另一个临界是过点(-1,0)代入得到 m=1.

故答案为:B.

【点睛】这个题目考查的是直线和圆的位置关系,一般直线和圆的题很多情况下是利用数形结合来解决的,

联立的时候较少;在求圆上的点到直线或者定点的距离时,一般是转化为圆心到直线或者圆心到定点的距

离,再加减半径,分别得到最大值和最小值;涉及到圆的弦长或者切线长时,经常用到垂径定理。

( ) ( ) ( ) ( ) 11.已知直线 x = t 分别与函数 f x = log2 x +1 和 g x = 2 log2 x +2 的图象交于 P,Q 两点,则

P, Q 两点间的最小距离为( )

A. 4 B. 1 C. 2 D. 2
【答案】D 【解析】 【分析】 根据题意得到 PQ 两点间的距离即两点的纵坐标的差值,

( ) ( ) ( ) PQ = 2log2

t +2

- log2

t +1

=

log

2

? ? ??è

t+2 t+1

2

? ÷ ÷÷?

,通过换元,借助均值不等式求得最值.

【详解】根据题意得到 PQ 两点间的距离即两点的纵坐标的差值,

PQ

= 2log2 (t

+ 2) -

log2 (t

+1) = log2

??(t+2)2
??è t+1

? ÷ ÷÷?

( ) 设 t+1=u,t=u-1>0,原式等于 log2

u +1 u

2

=

log

2

? ??èu

+

1 u

? + 2 ÷÷? 根据均值不等式得到

u +1 +2 ? u

4,

故log2

? ??èu

+

1 u

? + 2 ÷÷? ?

2. 当且仅当 u=1,t=0 是取得最值.

故答案为:D. 【点睛】在利用基本不等式求最值时,要特别注意“拆、拼、凑”等技巧,使其满足基本不等式中“正”(即条 件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用,否则会出 现错误.
( ) ( ) ( ) [ ) 12.定义在 R 上函数 f x 满足 f - x = f x ,且对任意的不相等的实数 x1, x2 ? 0, +? 有

f

(x1) -
x1 -

( ) f x2 < 0 成立,若关于 x 的不等式
x2

f (2mx -

ln x -

3) ?

2 f (3)-

f (- 2mx +ln x +3)在

[ ] x ? 1,3 上恒成立,则实数 m 的取值范围是( )

A.

é ê

1

,1

+

ln

6

ù ú

ê?2e 6 ú?

B.

éê1 , 2

+ ln

6

ù ú

ê?e 3 ú?

C.

éê1

,

2

+

ln

3

ù ú

ê?e 3 ú?

D.

é ê

1

,1

+

ln

3

ù ú

ê?2e 6 ú?

【答案】D 【解析】
∵函数 f (x)满足 f (- x) = f (x) ,

( ) ∴函数 f x 为偶函数.

又 f (2mx - lnx - 3) ? 2 f (3)- f (- 2mx +lnx +3) = 2 f (3)- f (2mx - lnx - 3),

∴ 2 f (2mx - lnx - 3) ? 2 f (3),

∴ f (2mx - lnx - 3) ? f (3) .

[ ( ) ( ) ) 由题意可得函数 f x 在 - ? , 0 上单调递增,在 0, +? 上单调递减.

[ ] ∴ 2mx - lnx - 3 ? 3对x ? 1,3 恒成立,

[ ] ∴ - 3 ? 2mx - lnx - 3 ? 3对x ? 1,3 恒成立,

[ ] 即 lnx ? m ? lnx +6 对x ? 1,3 恒成立.

2x

2x

[ ] 令 g(x) = lnx , x ? 2x

1, 3

,则

g ?( x)

=

1- lnx 2x2



[ ] ∴ g(x) 在 1, e 上单调递增,在 (e,3] 上单调递减,



g ( x)max

=

g(e)

=

1 2e



[ ] 令 h(x) = lnx +6 , x ? 1,3 ,则 h?(x) = - 5 - lnx < 0 ,

2x

2x2

[ ] ∴ h(x) 在 1,3 上单调递减,

∴ h(x)min

= h(3)

=

6 +ln 3 6

=1+ ln 3 6



综上可得实数

m

的取值范围为

é ê

1

,1

+

ln3

ù ú.选

D.

ê?2e 6 ú?

点睛:解答本题的两个注意点
[ ] (1)要根据条件中给出的函数的奇偶性的性质,将问题转化为 2mx - lnx - 3 ? 3对x ? 1,3 上恒成立的

问题,去掉绝对值后转化为不等式恒成立求解.

(2)解决恒成立问题时,选用分离参数的方法进行,转化为求具体函数的最大值或最小值的问题,然后 根据导数并结合函数的单调性去解即可.
第Ⅱ卷(共 90 分) 二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上) 13.已知 i 为虚数单位,若1+2i + a 是纯虚数,则实数 a = __________.
1+i 【答案】 - 2
【解析】 【分析】 根据复数的除法运算得到化简结果,根据纯虚数得到结果.

( ) 【详解】1+2i + a =1+2i + a

1+i

2

1- i

=1+

a 2

? +??è2

-

a 2

? ÷÷?i

因为是纯虚数,故得到1+

a 2

=0?

a = - 2.

故答案为:-2.
???? 【点睛】跟复数有关的题目,经常考察的有:z=a+bi(a,b∈R)与复*面上的点 Z(a,b)、*面向量 OZ 都可

建立一一对应的关系(其中 O 是坐标原点);复*面内,实轴上的点都表示实数;虚轴上的点除原点外都表

示纯虚数.涉及到共轭复数的概念,一般地,当两个复数的实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数叫做

互为共轭复数,复数 z 的共轭复数记作 z .

14.新学年学校某社团计划招入女生

x

人,男生

y

人,若

x,

y

满足约束条件

ì ??í

2x x-

y? y?

5, 2,

则该社团今年计划

? ??

x ? 6,

招入学生人数最多为__________.

【答案】13

【解析】

【分析】

作出不等式组对应的*面区域,设 z=x+y,利用数形结合即可得到 z 的最大值.

【详解】设 z=x+y,则 y=﹣x+z,

作出不等式组对应的*面区域,如图:

*移直线 y=﹣x+z 由图象可知当直线 y=﹣x+z 经过点 A 时,直线 y=﹣x+z 的截距最大,

此时 z 最大,

ì? x = 6 由í

?

ì? x = 6

í

即 A(6,7),

?? 2x - y = 5 ?? y = 7

此时 z 的最大值为 z=6+7=13,

故答案为:13.

【点睛】本题主要考查线性规划的应用,利用 z 的几何意义,利用数形结合是解决本题的关键.

利用线性规划求最值的步骤:

(1)在*面直角坐标系内作出可行域.

(2)考虑目标函数的几何意义,将目标函数进行变形.常见的类型有截距型( ax +by 型)、斜率型

( ) ( ) y +b



型)和距离型(

x +a

2+

y +b

2
型).

x +a

(3)确定最优解:根据目标函数的类型,并结合可行域确定最优解.

(4)求最值:将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值。

( ) 15.已知角

? ??èa

+

p 3

? ÷÷?的顶点为坐标原点,始边与

x

轴的非负半轴重合,终边经过点

P

1,1

,则 tana 的值为

__________.

【答案】 3 - 2

【解析】

【分析】

? 根据三角函数的定义得到 tan ??èa

+

p 3

? ÷÷?

=

1,

é? tana = tan êê???èa

+p 3

? ÷÷?-

p 3

ù úú?再由两角和差公式得到结果即可.

? 【详解】根据三角函数的定义得到 tan ??èa

+

p 3

? ÷÷? =1,

tana =

tan

é? êê???èa

+p 3

? ÷÷?-

p 3

ù ú= ú?

tan

? ??èa

+

p 3

? ÷÷?-

1+ 3

3 =1- 3 = 1+ 3

3- 2

故答案为: 3 - 2 .

【点睛】这个题目考查了三角函数的定义的应用,三角函数的定义,将角的终边上的点的坐标和角呃三角

函数值联系到一起,也考查到了两角和差的正切公式的应用。

????

???? 2 ???? 2 ???? 2

16. P 为等腰直角三角形 ABO 内一点, O 为直角顶点, AO =1,则 PA + PB + PO 的最小值为

__________.
4
【答案】
3
【解析】
【分析】

设出点坐标

P,用点点距离公式得到要求的式子,

???? 2 PA

+

???? 2 PB

+

???? PO

2 = 3 éêê????èx -

1 3

?2 ÷÷?

? +??èy -

1 3

?2 ÷÷?

ù úú+ ?

4 3

,进

而得到最值.

【详解】

建立如图坐标系,设点 P(x,y),A(1,0),B(0,1)

根据点点距公式得到:

???? PA

2

+

???? PB

2

+

???? PO

2

=x2

+

y2

+ x2

(+ y)-

1

2 +(x-1)2

+ y2

( ) =3x2 +3y2 - 2

x+y

+2 = 3 éêê????èx -

1 3

?2 ÷÷?

? +??èy -

1 3

?2 ÷÷?

ù úú+ ?

4 3

当 x= 1 ,y = 1 时取得最小值,代入得到答案为 4

3

3

3

4
故答案为: .
3

【点睛】这个题目考查了向量坐标化的应用,(1)向量的运算将向量与代数有机结合起来,这就为向量和

函数的结合提供了前提,运用向量的有关知识可以解决某些函数问题.

(2)以向量为载体求相关变量的取值范围,是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题.通

过向量的运算,将问题转化为解不等式或求函数值域,是解决这类问题的一般方法.

(3)向量的两个作用:①载体作用:关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”,转化为我们熟悉的数

学问题;②工具作用:利用向量可解决一些垂直、*行、夹角与距离问题.

三、解答题 (本大题共 5 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

{ } 17.已知等比数列 an 的前 n 项和为 Sn ,且 an+1 = 2 + Sn 对一切正整数 n 恒成立.

(1)求 a1 和数列{an} 的通项公式;

(2)求数列{Sn} 的前 n 项和Tn .

【答案】(1) a1 = 2 , an = 2n ;(2) Tn = 2n+2 - 2n - 4 。

【解析】 【分析】

( ) (1) 当 n ? 2 时, an = 2 + Sn-1 ,与 an+1 = 2 + Sn 两式相减得 an+1 = 2an n ? 2 ,再由等比数列的性质得到首

项,进而得到通项;(2)根据分组求和以及等差等比数列公式求和即可.
( ) 【详解】(1)当 n ? 2 时, an = 2 + Sn-1 ,与 an+1 = 2 + Sn 两式相减得 an+1 = 2an n ? 2 .
?数列是等比数列,

\ 公比 q = 2, a2 = 2a1 .

又? a2 = 2 +S1 = 2 +a1 ,

\ a1 = 2 ,

\ an = 2n

(2)?由 an+1 = 2 + Sn 得 Sn = 2n+1 - 2 ,
( ) \ Tn = 22 +23 +?+2n+1 - 2n

( ) 22 1- 2n

=

- 2n = 2n+2 - 2n - 4 .

1- 2

【点睛】这个题目考查的是数列通项公式的求法及数列求和的常用方法;数列通项的求法中有常见的已知

Sn 和 an 的关系,求 an 表达式,一般是写出 Sn-1 做差得通项,但是这种方法需要检验 n=1 时通项公式是否

适用;数列求和常用法有:错位相减,裂项求和,分组求和等。

( ) ( ) 18.已知函数 f x = 3 sin 2x - cos2 x + 1 x ? R , DABC 的内角 A, B,C 的对边长分别为 a,b, c ,且

2

2

f ( A) =1.

(1)求角 A ;

(2)若 DABC 的面积为 3 ,且 a = 13 ,求 b +c 的值.

【答案】(1) A = p ;(2) b +c = 5 。 3
【解析】

【分析】

? (1)由二倍角公式以及两角和差公式化简得到式子为 sin ??è2x -

p 6

? ÷÷?,

2

A

-

p? 6

? ??è-

p 6

11p ,
6

? ÷÷? ,进而得到结

果;(2) 1 bcsin p = 3 , bc = 4 ,再由余弦定理得到结果. 23

( ) 【详解】(1) f x = 3 sin2x - cos2x + 1

2

2

= 3 sin2x - 1+cos2x + 1

2

22

=

3 sin2x 2

1 cos2x 2

? = sin ??è2x -

p 6

? ÷÷?

? A? (0,p) ,

\

2A- p ? 6

? ??è-

p 6

,

11p 6

? ÷÷?,

\



f

(A)

? = sin ??è2A -

p 6

? ÷÷? =1,得

2A-

p 6

=p , 2

\ A=p. 3

(2)? SDABC

=

1 bcsin p 23

=

3 ,\ bc = 4 ,①

又由余弦定理得 a2 =13 = b2 +c2 - 2bccos p , 3

( ) 化简得 b +c 2 - 3bc =13 ,②

将①式代入②式得 b +c = 5 .

【点睛】本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用以及三角形面积公式,属于难题.在解与三角形有关的问

题时,正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 解三角形时,有时可用正弦定理,有时也可用余弦定理,应
注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现 ab 及 b2 、 a2 时,往往用余弦定理,而题

设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时,往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正

余弦公式进行解答。

19.如图,在边长为 3 的正方形 ABCD 中,点 E, F 分别在 AB, BC 上(如图 1),且 BE = BF ,将 DAED, DDCF 分别沿 DE, DF 折起,使 A,C 两点重合于点 A?(如图 2).

第 19 题图 1

第 19 题图 2

(1)求证: A?D ^ EF ;

(2)当 BF = 1 BC 时,求点 A?到*面 DEF 的距离. 3

37
【答案】(1)证明见解析;(2) 。
5

【解析】

【分析】

(1)由 ABCD 是正方形及折叠方式,得到 A?D ^ *面 A?EF ,进而得到线线垂直;(2)根据等体积转化

V 得到 三对椎A三?D对E对F = V

DA?EF



1 3

×d

×SDDEF

=

1 3

×A?D

×SDA?EF

,V三对对DA?EF

易求, SDDEF 可求,进而得到距离.

【详解】(1)由 ABCD 是正方形及折叠方式,得 A?E ^ A?D, A?F ^ A?D

? A?E ?A?F = A?,\ A?D ^ *面 A?EF , 又? EF ? *面 A?EF , \ A?D ^ EF . (2)? BE = BF = 1 BC =1,
3 \ A?E = A?F = 2 , EF = 2 , A?D = 3 ,

\

SDA?EF =

7 ,\ 2

DE = DF =

13 ,\

SDDEF

=

5 2



设点 A?到*面 DEF 的距离为 d ,

?V三对椎A三?D对E对F = V

, DA?EF

\

1 3

×d

×SDDEF

=

1 3

×A?D

×SDA?EF



解得 d = 3

7 .

5

【点睛】这个题目考查了线线垂直的证法,以及点面距离的求法,证明线线垂直可从线面垂直入手,求点

面距离可等体积转化,或者理科中也可以借助向量。

20.在工业生产中,对一正三角形薄钢板(厚度不计)进行裁剪可以得到一种梯形钢板零件,现有一边长为
3(单位:米)的正三角形钢板(如图),*叫杏诒 BC 的直线 DE 将 DADE 剪去,得到所需的梯形钢材 BCED ,记这个梯形钢板的周长为 x (单位:米),面积为 S (单位:*方米).

(1)求梯形 BCED 的面积 S 关于它的周长 x 的函数关系式; (2)若在生产中,梯形 BCED 的面积与周长之比(即 S )达到最大值时,零件才能符合使用要求,试确
x 定这个梯形的周长 x 为多时,该零件才可以在生产中使用?
( )( ) 【答案】(1) S = 3 - x2 +18x - 72 6 < x < 9 ;(2)当 x = 6 2 米时,该零件才可以在生产中使用。 4

【解析】 【分析】
( ) (1)根据几何关系得到 DADE 是正三角形, AD = DE = AE , BD = CE = 3 - AD ,则 AD +2 3 - AD +3

( ) ( ) ( ) = 9 - AD = x , S = 3 - x2 +18x - 72 6 < x < 9 ;(2)由(1)得 S = 3 - x2 +18x - 72

4

4

( ) ( ) ( ) 6 < x <9 ,令 f

x

=S x

=

3 4

? ??è-

x

-

72 x

? +18÷÷?

6 < x < 9 ,对此函数求导研究函数的单调性进而得到

最值.

【详解】(1)? DE / / BC, DABC 是正三角形,

\ DADE 是正三角形, AD = DE = AE , BD = CE = 3 - AD ,
则 AD +2(3 - AD) +3 = 9 - AD = x ,

S = (3 + AD)×(3 - AD)×sin60? 2

=

3

(12

-

x)(x
4

-

5)

(6

<

x

<

9)



( ) 化简得 S = 3 - x2 +18x - 72 (6 < x < 9). 4 故梯形 BCED 的面积 S 关于它的周长 x 的函数关系式为

( ) S = 3 - x2 +18x - 72 (6 < x < 9). 4

( ) ( ) (2)?由(1)得 S = 3 - x2 +18x - 72 6 < x < 9 , 4



f

(x)

=

S x

=

3 4

? ??è-

x-

72 x

? +18÷÷?

(6 < x

< 9),

( ) ( ) \

f? x

=

3 4

? ??è-

1

+

72 x2

? ÷÷?,令

f

?

x

= 0 ,得 x = 6

2 或x=-6

2 (舍去),

列表如下:

x

62

( ) 6 2,9

f (x)

+

0

-

f (x)

单调递增

极大值

单调递减

( ) ( ) \ 当 x = 6 2 时,函数 f x = S 有最大值,为 f 6 2 = 9 3 - 3 6 .

x

2

\ 当 x = 6 2 米时,该零件才可以在生产中使用.

【点睛】这个题目考查了函数的实际应用,这个题目考查了导数在研究函数的最值中的应用,求函数最值,

先要研究函数的单调性,判断函数的单调性常用的方法是:求导,根据导函数的正负得到函数的单调区间.

导函数为正的区间是增区间,导函数为负的区间是减区间.

( ) ( 21.已知函数 f x = x3 + 3 x2 - 4ax +1 a ? 2

R) .

( ) (1)若函数 f x 有两个极值点,且都小于 0,求 a 的取值范围;

(2) 若函数 h(x) = a(a - 1)ln x - x3 +3x + f (x),求函数 h(x) 的单调区间.

【答案】(1)

? ??è-

3 16

,0 ?÷÷? ;(2)答案见解析。

【解析】
【分析】
( ) (1)原式子转化为 f ? x = 3x2 +3x - 4a = 0 有两个不相等的负实根,根据韦达定理得到结果;(2) ( ) ( ) ( ) h x = a a - 1 lnx + 3 x2 - 4a - 3 x +1, x > 0 ,对函数求导,分情况得到函数的单调性即可.
2
( ) ( ) 【详解】(1)由 f x 有两个极值点且都小于 0,得 f ? x = 3x2 +3x - 4a = 0 有两个不相等的负实根,

ì

? ?

D= 9 +48a > 0,

\

?í ?

x1 + x2

= - 1 < 0, 解得 -

3 16

<a

<0.

? ??

x1x2

=-

4a 3

> 0,

\

a

的取值范围为

? ??è-

3 16

,0 ?÷÷? .

(2)?

h

(x)

=

a

(a

-

1)

lnx

+

3 2

x

2

- (4a -

3) x +1, x > 0

h?(x) =

a(a -
x

1) +3x -

(4a -

3)

=

1 x

(3x

-

a)é?x -

(a -

1)ù?.

令 (3x

-

a) é?x

-

(a

-

1)ù?= 0 ,得

x

=

a 3



x

=

a

-

1.

令 a = 0 ,得 a = 0 ;令 a - 1 = 0 ,得 a =1;令 a = a - 1,得 a = 3 .

3

3

2

( ) ①当 a ? 0 时, h? x > 0 恒成立;

②当 0 < a ? 1时,(3x - a)é?x - (a - 1)ù?> 0?

x <a - 1或 x > a , 3

h?(x) > 0?

x

>

a 3

,

h?(x)

<

0

?

0<x<a ; 3

③当1 < a < 3 时, a > a - 1 > 0 , 23

h?(x) > 0?

0

<

x

<

a

-

1



x

>

a 3

,

h?(x)

<

0

?

a- 1<x <

( ) ④当 a = 3 时, h? x ? 0 恒成立; 2

⑤当 a > 3 时, 0 < a < a - 1 ,

2

3

h?(x) > 0?

0 < x < a 或 x >a - 1, 3

.

( ) ( ) 综上所述:当 a ? 0 或 a = 3 时, h x 在 0,+? 上单调递增; 2

( ) 当 0 < a ? 1时, h

x

在 ???èa3 ,+?

? ÷÷?上单调递增,在

???è0,a3

? ÷÷?上单调递减;

( ) ( ) 当1 < a < 3 时, h 2

x



0, a - 1

, ???èa3 ,+?

? ÷÷?上单调递增,在

? ??èa

-

1,

a 3

? ÷÷?上单调递减;

( ) ( ) 当 a > 3 时, h 2

x



???è0,a3

? ÷÷?,

a - 1,+?

上单调递增,在

???èa3

,a

-

? 1÷÷?上单调递减;

【点睛】这个题目考查了导数在研究函数的极值和单调性中的应用,极值点即导函数的零点,但是必须是

变号零点,即在零点两侧正负相反;极值即将极值点代入原函数取得的函数值,注意分清楚这些概念,再

者对函数求导后如果出现二次,则极值点就是导函数的两个根,可以结合韦达定理应用解答。

请考生在 22、23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.

选修 4-4:坐标系与参数方程

22.在*面直角坐标系

xOy

中,圆 C

ì? 的参数方程为 í

x

=t

+

2 cos a, ( a 为参数, t 为常数).以原点 O 为

?? y = 2 sin a

极点,以 x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中,直线 l 的极坐标方程为 r

? cos ??èq -

3p 4

? ÷÷? =

2.

(1)求圆 C 的普通方程和直线 l 的直角坐标方程; (2)若直线 l 与圆 C 有两个公共点,求实数 t 的取值范围.
( ) ( ) 【答案】(1)圆 C 的普通方程为 x - t 2 + y2 = 2 ,直线 l 的直角坐标方程 x - y +2 = 0 ;(2) - 4,0
【解析】 【分析】 (1)根据极坐标化为直角坐标的公式得到结果即可;(2)根据第一问得到的圆的普通方程,直线和圆有 2 个公共点,即圆心到直线的距离小于半径即可.

( ) 【详解】(1)圆 C 的普通方程为 x - t 2 + y2 = 2 ,

将直线 l 的极坐标方程化为 - 2 r cosq + 2 r sinq = 2 ,

2

2

即 - 2 x + 2 y = 2 ,化简得 x - y +2 = 0 . 22
( ) ( ) (2)?圆 C 的普通方程为 x - t 2 + y2 = 2 ,\ 圆 C 的圆心为 C t, 0 ,半径为 2 ,

t +2

\ 圆心 C 到直线 l 的距离 d =



2

?直线 l 与圆 C 有两个公共点,

t +2 \ d= < 2,
2

解得 - 4 < t < 0 .
\ t 的取值范围为(- 4,0).

【点睛】本题主要考查了极坐标方程与直角坐标方程的互化,也考查了是直线和圆的位置关系,一般直线 和圆的题很多情况下是利用数形结合来解决的,联立的时候较少;在求圆上的点到直线或者定点的距离时, 一般是转化为圆心到直线或者圆心到定点的距离,再加减半径,分别得到最大值和最小值;涉及到圆的弦 长或者切线长时,经常用到垂径定理。 选修 4-5:不等式选讲
( ) ( ) 23.已知函数 f x = x - 2a + x +b x ? R 的最小值为 1,其中 a > 0,b > 0 .

(1)求 a, b 之间的关系式;
( ) (2)若 a = 1 ,解关于 x 的不等式: f x ? 2 . 4 【答案】(1) 2a +b =1;(2) (- ? , - 1]?[1, +? ) 。
【解析】 【分析】
(1)根据绝对值三角不等式得到结果即可;(2)由(1)知 2a +b =1,又 a = 1 , b = 1 ,则有 42

( ) f x = x - 1 + x + 1 ,之后零点分区间,去掉绝对值,解不等式即可.

2

2

( ) 【详解】(1)? f x = x - 2a + x +b ? 2a +b = 2a +b,

( 当且仅当 x - 2a)(x +b) ? 0 ,即 - b ? x ? 2a 时取等号,

? f (x) 的最小值为1,\ 2a +b =1.

(2)由(1)知 2a +b =1,又 a = 1 , 4

b

=

1 2

,则有

f

(x) =

x-

1 2

+

x+1 2

.

对于不等式

f

(x) =

x-

1 2

+ x+1 2

?

2,

当x?

1
时,

2

,解得 x ? 1 ;



时, - x + 1 + x + 1 =1 ? 2 ,无解;

22



时,

,解得

综上所述,不等式

( ) 的解集为 - ? , - 1]?[1, +? .

【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的求解,以及绝对值三角不等式的等号成立的条件的应用,其中解 答中根据绝对值的定义,合理去掉绝对值号,分类讨论是解答本题的关键,着重考查分析问题和解答问题 的能力,以及转化思想的应用.


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