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浙江大学2012-2013学年秋冬学期 微积分I期末试卷

浙江大学 2012-2013 学年秋冬学期 微积分 I 期末试卷
1. 设 y ? (sin 2 x) x ? (arcsin 2 x) 4 ,求
dy ; dx

2. 设函数 f (u ) 可导,y ? y( x) 是由方程 y ? 3 f ( xy) ? ln(1 ? sin x) 所确定的可 导函数,求
dy ; dx

? x ? 3t 2 ? 2t ? 3 d2y 3. 设 y ? y( x) 是由参数方程 ? 所确定,求 2 t ? 2 dx t ? ? y ? ?0 (3u ? 1) sin u du ?


?

4. 计算定积分 ??1
1

1? 5 x 1 ? 3 x2
??

dx ;

5. 计算反常积分 ?1 6. 求极限 lim ? x ?0 7. 求极限 lim x ?0
?

1 x2 x2 ?1

dx ;

? 1 1 ? ?; ? ln(1 ? sin x) ln(1 ? sin x) ?
tan x ? x 1 ? 1 ? x3
1
2



8. 求 lim ? sin x ? cos x ; ?
x? 2

( x ? 2) n 9. 求幂级数 ? 的收敛半径、收敛区间及收敛域; n3n n ?1
?

10. 将函数 f ( x) ? 11. 求不定积分 ?

1 展开成 x 的幂级数,并写出成立的开区间; x ? 2x ? 3
2

1 ? x2 ? x4 ln(1 ? x 2 )dx ; x 3 (1 ? x 2 )

12. 设 f ( x) ? C[0,1] 且恒正。试证明: (1) 存在 ? ? (0,1) 使得以曲线 y ? f ( x) 为顶在区间 [0,? ] 上的曲边梯 形面积等于以 f (? ) 为高,以区间 [? ,1] 为底的矩形面积; (2) 若增设 f ( x) 可导且 f ?( x) ? 0 ,则(1)中的 ? 是唯一的。

13. 设 f ( x) 在区间 ? 0, ?? ? 内可导且 f ?( x) ? 0 , F ( x) ? ?1 xf (u )du ? ?1x
1 x

1

f (u ) du . u2

(1) 求 F ??( x) (当 x ? 0 ) ; (2) 讨论曲线 y ? F ( x) 在区间 ? 0, ?? ? 内的凹凸性并求其拐点坐 标。 14. 设 an ? ?04 tan n xdx , n ? 2 , (1) 计算 an ? an? 2 ,并证明
?

?

1 1 , (当 n ? 2 ) ; ? an ? 2(n ? 1) 2(n ? 1)

(2) 证明级数 ? (?1) n an 条件收敛。
n?2




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