2005年高考数学 辽宁卷 试题及答案

发布于:2021-10-17 01:09:21

2005 年高考数学 辽宁卷 试题及答案
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择)题两部分,满分 150 分.考试用时 120 分钟.

第Ⅰ卷(选择题,共 60 分)
参考公式: 如果事件 A、B 互斥,那么 P(A+B)=P(A)+P(B) 如果事件 A、B 相互独立,那么 P(A· B)=P(A)· P(B) 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P,那么 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率 Pn ( k ) ? C nk P k (1 ? P ) n ? k 球的表面积公式
S ? 4? R
2

其中 R 表示球的半径 球的体积公式
V球 ? 4 3

?R

3

其中 R 表示球的半径

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.复数 z ?
?1? i 1? i ? 1 . 在复*面内,z 所对应的点在(

) D.第四象限 )

A.第一象限
x ? x0

B.第二象限

C.第三象限

2.极限 lim f ( x ) 存在是函数 f ( x ) 在点 x ? x 0 处连续的( A.充分而不必要的条件 C.充要条件

B.必要而不充分的条件 D.既不充分也不必要的条件

3.设袋中有 80 个红球,20 个白球,若从袋中任取 10 个球,则其中恰有 6 个红球的概率为 ( ) A.
C 80 ? C 10
4 6

C 100

10

B.

C 80 ? C 10
6 4

C 100

10

C.

C 80 ? C 20
4 6

C 100

10

D.

C 80 ? C 20
6 4

C 100

10

4.已知 m、n 是两条不重合的直线,α 、β 、γ 是三个两两不重合的*面,给出下列四个 命题: ①若 m ? ? , m ? ? , 则 ? // ? ; ②若 ? ? ? , ? ? ? , 则 ? // ? ; ③若 m ? ? , n ? ? , m // n , 则 ? // ? ;

④若 m、n 是异面直线, m ? ? , m // ? , n ? ? , n // ? , 则 ? // ? 其中真命题是( A.①和② 5.函数 y ? ln( x ? A. y ?
e ?e
x

) B.①和③
x ? 1 的反函数是(
2

C.③和④ )
?x

D.①和④

?x

B. y ? ?

e ?e
x

C. y ?

e ?e
x

?x

D. y ? ?

e ?e
x

?x

2 1? a
2a 2

2

2

2

6.若 log

1? a

? 0 ,则 a 的取值范围是(


1 1

A. ( , ?? )
2

1

B. (1, ?? )

C. ( ,1 )
2

D. ( 0 , )
2

7. R 上定义运算 ? : x ? y ? x (1 ? y ). 若不等式 ( x ? a ) ? ( x ? a ) ? 1 对任意实数 x 成立, 在 则( ) B. 0 ? a ? 2 C. ?
1 2 ? a ? 3 2

A. ? 1 ? a ? 1

D. ?

3 2

? a ?

1 2

8.若钝角三角形三内角的度数成等差数列,且最大边长与最小边长的比值为 m,则 m 的范 围是( ) A. (1,2) B. (2,+∞) C.[3,+∞ ) D. (3,+∞) )

2 2 9. 若直线 2 x ? y ? c ? 0 按向量 a ? (1, ? 1) *移后与圆 x ? y ? 5 相切, c 的值为 则 (

A.8 或-2

B.6 或-4

C.4 或-6

D.2 或-8
x1 ? ? x 2 1? ? ,

10.已知 y ? f ( x ) 是定义在 R 上的单调函数,实数 x 1 ? x 2 , ? ? ? 1, a ?
x 2 ? ? x1 1? ?

? ?

,若 | f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) |? | f (? ) ? f ( ? ) | ,则 B. ? ? 0
2





A. ? ? 0

C. 0 ? ? ? 1

D. ? ? 1 ) D.21

2 11. 已知双曲线的中心在原点, 离心率为 3 .若它的一条准线与抛物线 y ? 4 x 的准线重合,

则该双曲线与抛物线 y ? 4 x 的交点到原点的距离是( A.2 3 + 6 B. 21 C. 18 ? 12
2

12. 一给定函数 y ? f ( x ) 的图象在下列图中, 并且对任意 a 1 ? ( 0 ,1) , 由关系式 a n ? 1 ? f ( a n ) 得到的数列 { a n } 满足 a n ? 1 ? a n ( n ? N ) ,则该函数的图象是(
*


y 1

y 1

y 1

y 1

o

1

x o

1

x o

1

x o

1

x

A

B

C 共 90 分)

D

第Ⅱ卷(非选择题
1 ? 1 2

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. 13. ( x 2 ? 2 x
) 的展开式中常数项是
n

.

D C A B M

14.如图,正方体的棱长为 1,C、D 分别是两条棱的中点,A、B、M 是顶点,那么点 M 到截面 ABCD 的距离是 . 15.用 1、2、3、4、5、6、7、8 组成没有重复数字的八位数,要求 1 和 2 相邻,3 与 4 相邻,5 与 6 相邻,而 7 与 8 不相邻,这样的八位数 . 共有 个.(用数字作答) 16. ? 是正实数,设 S ? ? {? | f ( x ) ? cos[ ? ( x ? ? )] 是奇函数},若对

每个实数 a ,S ? ? ( a , a ? 1) 的元素不超过 2 个, 且有 a 使 S ? ? ( a , a ? 1) 含 2 个元素, ? 则 的取值范围是 . 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) P 已知三棱锥 P—ABC 中,E、F 分别是 AC、AB 的中点, △ABC,△PEF 都是正三角形,PF⊥AB. (Ⅰ)证明 PC⊥*面 PAB; (Ⅱ)求二面角 P—AB—C 的*面角的余弦值; (Ⅲ)若点 P、A、B、C 在一个表面积为 12π 的 球面上,求△ABC 的边长. A

C B

E

F

18. (本小题满分 12 分) 如图,在直径为 1 的圆 O 中,作一关于圆心对称、 邻边互相垂直的十字形,其中 y ? x ? 0 . (Ⅰ)将十字形的面积表示为 ? 的函数; (Ⅱ) ? 为何值时,十字形的面积最大?最大面积是多少?

O

x y

? x y

19. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ? 足 b n ?| a n ?
x?3 x ?1 ( x ? ? 1). 设数列 { a n }满足 a 1 ? 1, a n ? 1 ? f ( a n ) ,数列 { b n }满
*

3 |, S n ? b1 ? b 2 ? ? ? b n ( n ? N ).
( 3 ? 1) 2
n ?1 n

(Ⅰ)用数学归纳法证明 b n ?



(Ⅱ)证明 S n ?

2 3 3

.

20. (本小题满分 12 分) 某工厂生产甲、乙两种产品,每种产品都是经过第一和第二工序加工而成,两道工序 的加工结果相互独立,每道工序的加工结果均有 A、B 两个等级.对每种产品,两道工序的 加工结果都为 A 级时,产品为一等品,其余均为二等品. 工序 (Ⅰ)已知甲、乙两种产品每一道工序的加工结 概 第一工序 第二工序 率 果为 A 级的概率如表一所示,分别求生产 产品 出的甲、乙产品为一等品的概率 P 甲、P 乙; 甲 0.8 0.85 (Ⅱ)已知一件产品的利润如表二所示,用ξ 、 乙 0.75 0.8 η 分别表示一件甲、乙产品的利润,在 等级 (I)的条件下,求ξ 、η 的分布列及 利 一等 二等 润 Eξ 、Eη ; 产品 (Ⅲ)已知生产一件产品需用的工人数和资金额 甲 5(万元) 2.5(万元) 如表三所示.该工厂有工人 40 名,可用资. 乙 2.5(万元) 1.5(万元) 金 60 万元.设 x、y 分别表示生产甲、乙产 项目 品的数量,在(II)的条件下,x、y 为何 用 工人 (名) 资金(万元) 量 值时, z ? xE ? ? yE ? 最大?最大值是多少?
产品

(解答时须给出图示)

甲 乙

8 2

8 10

21. (本小题满分 14 分) 已知椭圆
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 ) 的左、右焦点分别是 F1(-c,0) 2(c,0) 、F ,Q 是

椭圆外的动点,满足 | F1 Q |? 2 a . 点 P 是线段 F1Q 与该椭圆的交点,点 T 在线段 F2Q 上,并 且满足 PT ? TF 2 ? 0 , | TF 2 |? 0 . (Ⅰ)设 x 为点 P 的横坐标,证明 | F1 P |? a ?
c a
y

x;
Q P T F2 x

(Ⅱ)求点 T 的轨迹 C 的方程; (Ⅲ)试问:在点 T 的轨迹 C 上,是否存在点 M, 使△F1MF2 的面积 S= b 2 . 若存在,求∠F1MF2 的正切值;若不存在,请说明理由.
F1 o

22. (本小题满分 12 分) 函数 y ? f ( x ) 在区间(0,+∞)内可导,导函数 f ? ( x ) 是减函数,且 f ?( x ) ? 0 . 设
x 0 ? ( 0 , ?? ), y ? kx ? m 是曲线 y ? f ( x ) 在点( x 0 , f ( x 0 ) )得的切线方程,并设函数
g ( x ) ? kx ? m .

(Ⅰ)用 x 0 、 f ( x 0 ) 、 f ?( x 0 ) 表示 m; (Ⅱ)证明:当 x 0 ? ( 0 , ?? )时 , g ( x ) ? f ( x ) ;
3 2
2

(Ⅲ)若关于 x 的不等式 x ? 1 ? ax ? b ?
2

x 3 在 [ 0 , ?? ) 上恒成立,其中 a、b 为实数,

求 b 的取值范围及 a 与 b 所满足的关系.

2005 年高考数学 辽宁卷 试题及答案
参考答案
说明: 一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种解法供参考, 如果考生的解法与本解答不同, 可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细 则 二、对解答题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题 的内容和难度, 可视影响的程度决定后继部分的给分, 但不得超过该部分正确解答应得分数 的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分 三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数 四、只给整数分数,选择题和填空题不给中间分
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

一、选择题:本题考查基本知识和基本运算,每小题 5 分,满分 60 分. 1.B 2.B 3.D 4.D 5.C 6.C 7.C 8.B 9.A 10.A 11.B 12.A 二、填空题:本题考查基本知识和基本运算 每小题 4 分,满分 16 分
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

13.-160 16. (? , 2 ? ]

14.

2 3

15.576

王新敞
奎屯

新疆

解: ① S ? ? {? | f ( x ) ? cos[? ( x ? ? )] 是奇函数}
? S ? ? {? | ? ?

2k ? 1 2?

? , k ? Z } ? {? , ?

3 2?

? ,?

1 2?

?,

1 2?

?,

3 2?

? ,?}

②对每个实数 a , S ? ? ( a , a ? 1) 的元素不超过 2 个,且有 a 使 S ? ? ( a , a ? 1) 含 2 个元素,也就是说 S ? 中任意相邻的两个元素之间隔必小于 1,并且 S ? 中任意相邻的三个元 素的两间隔之和必大于等于 1 ?
2 2?

? ? 1且 2 ?

2 2?

? ? 1 ? ? ? ? ? 2?

王新敞
奎屯

新疆

三、解答题 17.本小题主要考查空间中的线面关系,三棱锥、球的有关概念及解三角形等基础知识,考 查空间想象能力及运用方程解未知量的基本方法,满分 12 分. P (Ⅰ)证明: 连结 CF.
? PE ? EF ? 1 2 BC ? 1 2 AC ,? AP ? PC .

? CF ? AB , PF ? AB ,? AB ? *面 PCF . ? PC ? *面 PCF ,? PC ? AB . ? PC ? *面 PAB . ……4 分

A F

E O B

C

(Ⅱ)解法一:? AB ? PF , AB ? CF ,

D

? ? PFC 为所求二面角的*面角. 设 AB=a,则 AB=a,则 PF ? EF ?

a 2

, CF ?

3 2

a

a ? cos ? PFC ? 2 3 2 a ? 3 3 . ……………………8 分

解法二:设 P 在*面 ABC 内的射影为 O. ? ? PAF ≌ ? PAE ,? ? PAB ≌ ? PAC . 得 PA=PB=PC. 于是 O 是△ABC 的中心. ? ? PFO 为所求二面角的*面角. 设 AB=a,则 PF ?
a 2 , OF ? 1 3 ? 3 2 a. ? c o s? PFO ? OF PF ? 3 3 . ………8 分

(Ⅲ)解法一:设 PA=x,球半径为 R. ? PC ? *面 PAB , PA ? PB ,
? 3 x ? 2 R . ? 4? R
2

? 12 ? ,? R ?

3 .得 x ? 2 . ? ? ABC 的边长为 2 2 .……12 分

解法二:延长 PO 交球面于 D,那么 PD 是球的直径. 连结 OA、AD,可知△PAD 为直角三角形. 设 AB=x,球半径为 R.
? 4? R
2

? 12 ? ,? PD ? 2 3 . ? PO ? OF tan ? PFO ?

6 6

x , OA ?

2 3

?

3 2

x,

?(

3 3

x)

2

?

6 6

x(2 3 ?

6 6

x ). 于是 x ? 2 2 . ? ? ABC 的边长为 2 2 .……12 分

18.本小题主要考查根据图形建立函数关系、三角函数公式、用反三角函数表示角以及解和 三角函数有关的极值问题等基础知识,考查综合运用三角函数知识的能力. 满分 12 分. (Ⅰ)解:设 S 为十字形的面积,则 S ? 2 xy ? x
? 2 sin ? cos ? ? cos
2

2

?(

?
4

?? ?

?
2

). ………………4 分
1 2 cos 2? ? 1 2 ? 5 2 sin( 2? ? ? ) ? 1 2

(Ⅱ)解法一: S ? 2 sin ? cos ? ? cos 2 ? ? sin 2? ? 其中 ? ? arccos
?
4
2 5 5 . ………8

,



当 sin( 2? ? ? ) ? 1, 即 2? ? ? ?

?
2

时,S

最大.……10 分

所以,当 ? ?

?

1 2

arccos

2 5 5

时 , S 最大. S 的最大值为

5 ?1 2

. …………12 分

解法二: 因为 S ? 2 sin ? cos ? ? cos 2 ? , 所以 S ? ? 2 cos 2 ? ? 2 sin 2 ? ? 2 sin ? cos ?
? 2 cos 2? ? sin 2? . ……………………8 分

令 S′=0,即 2 cos 2? ? sin 2? ? 0 ,

可解得 ? ?

?
2

?

1 2

arctan( ? 2 )

………………10 分
5 ?1 2

所以,当 ? ?

?
2

?

1 2

arctan( ? 2 ) 时,S 最大,S 的最大值为

.

…………12 分

19.本小题主要考查数列、等比数列、不等式等基本知识,考查运用数学归纳法解决有关问 题的能力,满分 12 分
王新敞
奎屯 新疆

(Ⅰ)证明:当 x ? 0时 , f ( x ) ? 1 ?

2 x ?1

? 1.

因为 a1=1,

所以 a n ? 1( n ? N *). ………………2 分
( 3 ? 1) 2
n ?1 n

下面用数学归纳法证明不等式 b n ?

.

(1)当 n=1 时,b1= 3 ? 1 ,不等式成立, (2)假设当 n=k 时,不等式成立,即 b k ?
( 3 ? 1) | a k ? 1 ? ak
1)
( 3 ? 1) 2
k ?1 k

.

那么

b k ?1 ? | a k ? 1 ?

3 |?

3 |

………………6 分

3? 1 bk ? 2

(

3 ? 2
k

k ?1

.

所以,当 n=k+1 时,不等也成立 根据(1)和(2) ,可知不等式对任意 n∈N*都成立
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

…………8 分

(Ⅱ)证明:由(Ⅰ)知, b n ?

( 3 ? 1) 2
n ?1

n

.

所以

S n ? b 1 ? b 2 ? ? ? b n ? ( 3 ? 1) ?

( 3 ? 1) 2

2

?? ?

( 3 ? 1) 2
n ?1

n

1? ( ? ( 3 ? 1) ? 1?

3 ?1 2

)

n

3 ?1 2

…………10 分

? ( 3 ? 1) ? 1?

1 3 ?1 2

?

2 3

3.

? 故对任意 n ? N , S n ?

2 3

3 . ………………(12 分)

20. (本小题主要考查相互独立事件的概率、随机变量的分布列及期望、线性规划模型的建 立与求解等基础知识,考查通过建立简单的数学模型以解决实际问题的能力,满分 12 分. (Ⅰ)解: P甲 ? 0 . 8 ? 0 . 85 ? 0 . 68 ,
P乙 0 . 75 ? 0 . 8 ? 0 . 6 . …………2 分

(Ⅱ)解:随机变量 ? 、 ? 的分别列是
?

5 0.68

2.5 0.32

?

2.5 0.6

1.5 0.4

P

P

E ? ? 5 ? 0 . 68 ? 2 . 5 ? 0 . 32 ? 4 . 2 ,

E ? ? 2 . 5 ? 0 . 6 ? 1 . 5 ? 0 . 4 ? 2 . 1 . …………6 分

? 5 x ? 10 y ? 60 , ? (Ⅲ)解:由题设知 ? 8 x ? 2 y ? 40 , ? ? x ? 0, ? y ? 0. ?

目标函数为 z ? xE ? ? yE ? ? 4 . 2 x ? 2 . 1 y . ……8 分 作出可行域(如图) : 作直线 l : 4 . 2 x ? 2 . 1 y ? 0 , 将 l 向右上方*移至 l1 位置时,直线经过可行域上 的点 M 点与原点距离最大, 此时 z ? 4 . 2 x ? 2 . 1 y …………10 分
5x+10y=60 y 6 8x+2y=40 M(4,4)

取最大值. 解方程组 ?

? 5 x ? 10 y ? 60 , ? 8 x ? 2 y ? 40 .

o

5

x

得 x ? 4 , y ? 4 . 即 x ? 4 , y ? 4 时,z 取最大值,z 的最大值为 25.2 .……………12 分 21.本小题主要考查*面向量的概率,椭圆的定义、标准方程和有关性质,轨迹的求法和应 用,以及综合运用数学知识解决问题的能力.满分 14 分. (Ⅰ)证法一:设点 P 的坐标为 ( x , y ). 由 P ( x , y ) 在椭圆上,得
b a c a x) .
2 2 2

y Q P T F2 x

| F1 P | ? ? (a ?

( x ? c) ? y
2

2

?

(x ? c) ? b ?
2 2

x

2

F1

o

由 x ? a,知 a ?

c a

x ? ? c ? a ? 0 ,所以 | F1 P | ? a ?

c a

x . ………………………3 分

证法二:设点 P 的坐标为 ( x , y ). 记 | F1 P |? r1 , | F 2 P |? r2 , 则 r1 ?
( x ? c ) ? y , r2 ?
2 2

(x ? c) ? y .
2 2

2 2 由 r1 ? r2 ? 2 a , r1 ? r2 ? 4 cx , 得 | F1 P |? r1 ? a ?

c a

x.

证法三:设点 P 的坐标为 ( x , y ). 椭圆的左准线方程为 a ? 由椭圆第二定义得
| F1 P | |x? a
2

c a

x ? 0.
c a x |.

? |

c a

,即 | F1 P

|?

c a

|x?

a

2

|? | a ?

c

c

由 x ? ?a,知 a ?

c a

x ? ? c ? a ? 0 ,所以 | F1 P | ? a ?

c a

x . …………………………3 分

(Ⅱ)解法一:设点 T 的坐标为 ( x , y ). 当 | PT
| ? 0 时,点( a

,0)和点(- a ,0)在轨迹上.

当| PT |? 0 且 | TF 2 |? 0 时,由 | PT | ? | TF 2 |? 0 ,得 PT ? TF 2 . 又 | PQ |? | PF 2 | ,所以 T 为线段 F2Q 的中点. 在△QF1F2 中, | OT |?
1 2 | F1 Q |? a ,所以有 x ? y
2 2 2 2 2

? a .
2

综上所述,点 T 的轨迹 C 的方程是 x ? y ? a . …………………………7 分 解法二:设点 T 的坐标为 ( x , y ). 当 | PT
| ? 0 时,点( a

,0)和点(- a ,0)在轨迹上.

当| PT |? 0 且 | TF 2 |? 0 时,由 PT ? TF 2 ? 0 ,得 PT ? TF 2 . 又 | PQ |? | PF 2 | ,所以 T 为线段 F2Q 的中点.
x? ? c ? , ?x ? 2 的坐标为( x ?, y ? ) ,则 ? ? ? ?y ? y . ? 2 ?

设点 Q

因此 ?

? x ? ? 2 x ? c, ? y ? ? 2 y.



2 2 2 由 | F1 Q | ? 2 a 得 ( x ? ? c ) ? y ? ? 4 a .



将①代入②,可得 x ? y ? a .
2 2 2

综上所述,点 T 的轨迹 C 的方程是 x ? y ? a . ……………………7 分
2 2 2

(Ⅲ)解法一:C 上存在点 M( x 0 , y 0 )使 S= b 的充要条件是
2 2 ? x0 ? y0 ? a 2 , ? ?1 2 ? ? 2 c | y 0 |? b . ?2

2

③ ④

由③得 | y 0 |? a ,由④得 | y 0 |? 当a 当a
? b
2

b

2

.

c

所以,当 a

?

b

2

时,存在点 M,使 S= b 2 ;

c

时,不存在满足条件的点 M.………………………11 分 时, MF 1 ? ( ? c ? x 0 , ? y 0 ), MF 2 ? ( c ? x 0 , ? y 0 ) ,
2 2 2 2 2 2

c

?

b

2

c

由 MF 1 ? MF 2 ? x 0 ? c ? y 0 ? a ? c ? b ,
MF 1 ? MF 2 ? | MF 1 | ? | MF 2 | cos ? F1 MF 2 ,
S ? 1 2 | MF 1 | ? | MF 2 | sin ? F1 MF
2

? b ,得 tan ? F1 MF 2 ? 2 .
2

解法二:C 上存在点 M( x 0 , y 0 )使 S= b 2 的充要条件是
2 2 ? x0 ? y0 ? a 2 , ? ?1 2 ? ? 2 c | y 0 |? b . ?2

③ ④
4 2 2 2

由④得 | y 0 |? 于是,当 a 当a 当a
? b
2

b

2

.

c
b
2

上式代入③得 x 02 ? a 2 ?

b c

? (a ?

b

)( a ?

b

) ? 0.

c

c

?

时,存在点 M,使 S= b 2 ;

c

时,不存在满足条件的点 M.………………………11 分
y0 x0 ? c y0 x0 ? c

c

?

b

2

c

时,记 k 1 ? k F M ?
1

, k 2 ? k F2 M ?


k1 ? k 2 1 ? k1k 2

由 | F1 F 2 |? 2 a , 知 ? F1 MF 2 ? 90 ? ,所以 tan

? F1 MF 2 ? |

|? 2 . …………14



22.本小题考查导数概念的几何意义,函数极值、最值的判定以及灵活运用数形结合的思想 判断函数之间的大小关系.考查学生的学*能力、抽象思维能力及综合运用数学基本关 系解决问题的能力.满分 12 分 (Ⅰ)解: m ? f ( x 0 ) ? x 0 f ? ( x 0 ). …………………………………………2 分 (Ⅱ)证明:令 h ( x ) ? g ( x ) ? f ( x ), 则 h ?( x ) ? f ? ( x 0 ) ? f ?( x ), h ? ( x 0 ) ? 0 . 因为 f ? ( x ) 递减,所以 h ? ( x ) 递增,因此,当 x ? x 0 时 , h ? ( x ) ? 0 ; 当 x ? x 0 时 , h ? ( x ) ? 0 .所以 x 0 是 h ( x ) 唯一的极值点,且是极小值点,可知 h ( x ) 的 最小值为 0,因此 h ( x ) ? 0 , 即 g ( x ) ? f ( x ). …………………………6 分 (Ⅲ)解法一: 0 ? b ? 1 , a ? 0 是不等式成立的必要条件,以下讨论设此条件成立.
x ? 1 ? ax ? b , 即 x ? ax ? (1 ? b ) ? 0 对任意 x ? [ 0 , ?? ) 成立的充要条件是
2 2
1

a ? 2 (1 ? b ) 2 .

另一方面,由于 果可知,ax
?b ? 3 2
2

f (x) ?

3 2

2

x3

满足前述题设中关于函数 y ? f ( x ) 的条件,利用(II)的结
? 3 2
2

x3

的充要条件是: 过点 (0,b ) 与曲线 y
? 1 2

x3

相切的直线的斜率大于 a ,

该切线的方程为 y 于是 ax
3 2

? (2b )

x ? b.

2

1

?b ?

x3

的充要条件是 a ? ( 2 b ) 2 . …………………………10 分

综上,不等式 x ? 1 ? ax ? b ?
2
? 1 2 1

3 2

2

x 3 对任意 x ? [ 0 , ?? ) 成立的充要条件是

(2b )

? a ? 2 (1 ? b ) 2 .
? 1 2 1


? 2 (1 ? b ) 2 . ②

显然,存在 a、b 使①式成立的充要条件是:不等式 ( 2 b ) 有解、解不等式②得
2? 4 2 ? b ? 2? 4 2 .



因此,③式即为 b 的取值范围,①式即为实数在 a 与 b 所满足的关系.…………12 分 (Ⅲ)解法二: 0 ? b ? 1, a ? 0 是不等式成立的必要条件,以下讨论设此条件成立.
x ? 1 ? ax ? b , 即 x ? ax ? (1 ? b ) ? 0 对任意 x ? [ 0 , ?? ) 成立的充要条件是
2 2
1

a ? 2 (1 ? b ) 2 . ………………………………………………………………8



令 ? ( x ) ? ax ? b ?

3 2

2

x 3 ,于是 ax ? b ?
1 3

3 2

2

x3

对任意 x ? [ 0 , ?? ) 成立的充要条件是

? ( x ) ? 0 . 由 ? ?( x ) ? a ? x

?

? 0得 x ? a

?3

.

?3 ?3 ?3 当 0 ? x ? a 时 ? ? ( x ) ? 0 ; 当 x ? a 时, ? ? ( x ) ? 0 ,所以,当 x ? a 时, ? ( x ) 取最

小值.因此 ? ( x ) ? 0 成立的充要条件是 ? ( a 综上,不等式 x 2
? 1 2

?3

) ? 0 ,即 a ? ( 2 b )

?

1 2

. ………………10 分

? 1 ? ax ? b ?
1

3 2

2

x3

对任意 x ? [ 0 , ?? ) 成立的充要条件是

(2b )

? a ? 2 (1 ? b ) 2 .


? 1 2 1

显然,存在 a、b 使①式成立的充要条件是:不等式 ( 2 b ) 有解、解不等式②得 2 ?
4 2 ? b ? 2? 4 2 .

? 2 (1 ? b ) 2



因此,③式即为 b 的取值范围,①式即为实数在 a 与 b 所满足的关系.…………12 分


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